Cálculo
Modelo lineal

Aquí encontraras algunas notas de álgebra y calculo lineal. Las utilizo como repaso y como base para otros post. Tal vez no encontraras todos los temas que se estudian en esta materia. Aun así intento explicar de manera muy amena y sencilla algunos de los principales conceptos. Espero que sea de tu agrado y cualquier pregunta la puedes hacer en la caja de comentarios.

Vamos a iniciar con un concepto básico para entender las ecuaciones lineales. La Razón de cambio(\(r\)). \( r = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) Es simplemente la diferencia de una magnitud sobre la diferencia de una variable que incrementa o decrementa de manera costante.

Dentro de la matemática(geometría analítica) se conoce a esta razón de cambio como pendiente(\(m\)) \( m = \frac{y_{1} – y_{0}}{x_{1} – x_{0}}\). Eso quiere decir que la pendiente es igual a la diferencia o cambio(\(\Delta\)) de \(y\) sobre la diferencia de \(x\). El valor de la pendiente, si trazamos un triangulo con la linea resultante de una función lineal, corresponde al valor del ángulo \(\alpha\), es decir que corresponde a la tangente. Tambien debemos saber que la razon de cambio es la derivada de la funcion. \(r = {y}’\)

Entender y usar apropiadamente este concepto de álgebra lineal es indispensable. Nos permite hacer algunas cosas mas interesantes como introducir la famosa ecuación lineal. Esta nos permite predecir el valor de la magnitud sobre determinado valor de la variable. Claro, ahora vamos con un ejemplo para entenderlo de manera mas sencilla. Recordemos que \(m\) es la pendiente, \(b\) la ordenada al origen, \(x\) la abscisa y \(y\) la ordenada.

\(y = mx + b\)

Imaginemos que tenemos una disminución constante de temperatura(\(T\)) de \(6^{\circ}\)(razón de cambio) al ganar 1 km de altura(\(h\)). Desde una altura 0 tenemos una temperatura de \(20^{\circ}\). Lo representamos algebraicamente de la siguiente manera:

\(m = \frac{\Delta T}{\Delta h} = -6 \)

Entonces, vamos a hacernos la primera pregunta.

Queremos saber a que altura la temperatura es de \(-1^{\circ}\). Para esto utilizamos la función lineal.

\(T(h) = -1\) nuestro objetivo o pregunta

\(T(h) = 20 + (-6)h \Rightarrow -1 = 20 -6h\) planteamos la función lineal

resolvemos nuestra ecuación

\(6h = 20 + 1\)
\(h = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5km\)

En el anterior ejemplo teníamos el valor de la pendiente. Vamos a hacer el ejercicio de comprobar la pendiente ahora que conocemos dos puntos de la recta. Para ilustrarlo utilizaremos el resultado anterior junto con el planteamiento inicial.

\(y_{0} = 20 \wedge y_{1} = -1 \wedge x_{0} = 0 \wedge x_{1} = 3.5\) definimos el valor para los puntos(inicial y resultado anterior).

\(\Rightarrow m = \frac{20 – (-1)}{0 – 3.5} \Rightarrow m = \frac{21}{-3.5} \Rightarrow m = -6 \)

Esta sería, por decirlo, la manera clásica de hacerlo. Aunque también podemos utilizar la propia ecuación lineal para encontrar la pendiente. Esto lo logramos utilizando por cada punto un ecuación lineal(reemplazamos los valores que conocemos) para luego resolverlo por alguno de los métodos de sistemas de ecuaciones lineales.

\(\left\{\begin{matrix}20 = m(0) + b\\-1 = m(3.5) + b\end{matrix}\right.\)

En este caso resolveremos el sistema por método de reducción

\(\frac{\begin{matrix}20 = b\\1 = -m3.5 -b\end{matrix}}{21 = -m3.5}\Rightarrow -m = \frac{21}{3.5}\Rightarrow m = -6\)

Resumiendo, la magnitud que se estudia es \(y\) y la magnitud de la que depende es \(x\). Si tengo información de dos puntos yo puedo obtener la pendiente(ya sea por la razón de cambio o por un sistema de ecuaciones) y si tengo un punto y la pendiente puedo calcular otro punto usando la función lineal.